Чтобы понять, как посчитать в любой позиционной системе счисления, вспомним, а как мы считаем в десятичной системе счисления.
В 10-тичной СС алфавит включает 10 символов:
А - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Одноразрядные числа состоят из цифр алфавита, после одноразрядных чисел идут двухразрядные, после двухразрядных начинаются трехразрядные,
и счет от 0 до 100 при записи каждого «десятка» с новой строки выглядит так:
Правила счета в ПСС.
Сформулируем правила счета в десятичной системе счисления в общем виде. Для этого в наших рассуждениях будем называть цифру 9 «Последняя цифра в алфавите».
Так что же нам известно из курса начальной школы (честно говоря, с 1-го, ну уж со 2-го класса так точно…):
1. Следующее число в алфавите больше предыдущего на 1.
2. Числа могут быть одноразрядными – состоят из одного символа алфавита, двухразрядными – состоят из двух символов алфавита, трехразрядными – состоят из трех символов алфавита…. Т.е. N-разрядными – состоят из N символов алфавита.
3. Цифры алфавита составляют одноразрядные числа.
4. Самое большое одноразрядное число есть последняя цифра алфавита.
5. Самое маленькое двухразрядное число состоит из 1 и 0, те 10.
6. Чтобы узнать какое число следует за данным, надо к данному числу прибавить 1.
7. Если к числу, состоящему из последней цифры алфавита, прибавить 1 получим 10.
8. Самое большое двухразрядное число состоит из 2-х последних цифр алфавита.
9. Самое маленькое трехразрядное число – 100.
10. Самое большое N-разрядное число состоит из N последних цифр алфавита.
11. Самое маленькое N-разрядное число состоит из символа «1» и (N-1) символов «0».
12. Сколько «единиц», столько «десятков».
Опираясь на сформулированные правила, будем считать в разных системах счисления.
Посчитаем от 0 до 100 в двоичной системе счисления.
Счет в двоичной системе счисления.
Сначала запишем алфавит
А - 0 1
Теперь составим таблицу сложения (шпаргалку).
Таблица сложения для двоичной системы счисления.
|
 |
«1» занимает в алфавите следующую позицию за «0»
«1» - последняя цифра алфавита.
|
|
Чтобы узнать какое число следует за числом 10 надо к 10 прибавить 1 и лучше это проделать в столбик, ведь мы хорошо владеем этим методом счета.
 |
Сначала к «0» нулевого разряда прибавим «1».
Эту задачу мы только что решили – в ответе будет «1».
В нулевой разряд ответа запишем «1».
К «1» в первой позиции прибавлять нечего, в первую позицию ответа запишем «1».
|
|
Значит 10 + 1 = 11. И в этом нет ничего нового…
А вот какое число будет следовать за числом 11?
И тут мы опять прибавим «1», но уже к числу «11». Решать будем в столбик.
 |
К «1» нулевого разряда надо прибавить «1», такую задачку мы решали – в ответе будет «10», значит, в нулевом разряде ответа пишем «0», а над «1» первого разряда ставим «1» - то, что «на ум пошло».
Теперь следует к «1» первого разряда прибавить «1» из «памяти», но это такая же задачка и в ответе опять таки «10».
В первом разряде ответа пишем «0», а «1» записываем во второй разряд.
|
|
И так мы получили число 100, т.е. посчитали от 0 до 100 в двоичной системе счисления.
Запишем результат счета по «десяткам».
 |
Как видно из счета, подтверждаются правила:
- наибольшее двухзначное число состоит из двух последних цифр алфавита;
- cколько в алфавите «единиц», столько в счете «десятков».
|
|
Счет в троичной системе счисления.
Посчитаем от 0 до 100 в 3-ой системе счисления.
Запишем алфавит:
А - 0 1 2
Составим таблицу сложения.
Таблица сложения для троичной системы счисления.
 |
«1» занимает в алфавите следующую позицию за «0»
«2» занимает в алфавите следующую позицию за «1»
«2» - последняя цифра алфавита
|
|
Для дальнейшего счета к 10 прибавим «1».
|
Сначала к «0» нулевого разряда прибавим «1».
Эту задачу мы только что решили – в ответе будет «1».
В нулевой разряд ответа запишем «1».
К «1» в первой позиции прибавлять нечего, в первую позицию ответа запишем «1».
|
|
В ответе будет «11» (как это ни странно, 10 плюс 1 равно 11 во всех позиционных системах счисления).
А теперь прибавим столбиком к «11» еще «1».
 |
К «1» нулевого разряда прибавим «1». По таблице сложения получим «2», значит, в нулевой разряд ответа запишем «2».
К «1» в первой позиции прибавлять нечего, и в первую позицию ответа запишем «1».
|
|
В ответе получаем число «12».
Теперь прибавим «1» к «12» так же столбиком.
 |
К «2» нулевого разряда прибавим «1». По таблице сложения получим «10», значит, в нулевой разряд ответа запишем «0», а над цифрой «1» первого разряда – «1».
К «1» первого разряда прибавим «1» и по таблице сложения получим «2», значит в первую позицию ответа запишем «2».
|
|
В ответе получим число – «20».
К числу «20» прибавляем «1», это просто и сразу понятно – в ответе «21», так же как и поиск следующего числа не должен вызвать каких-либо затруднений, и, прибавив к «21» «1», получим число «22».
Но «22» еще не «100», значит к «22» надо прибавить «1». И вновь будем решать в столбик.
 |
К «2» нулевого разряда прибавим «1». По таблице сложения получим «10», значит, в нулевой разряд ответа запишем «0», а над цифрой «1» первого разряда – «1».
К «2» первого разряда прибавим «1» и по таблице сложения получим «10», значит в первую позицию ответа запишем «0», а во вторую – «1».
|
|
Получилось число «100».
Запишем результат счета по «десяткам».
 |
И вновь подтверждаются правила:
- наибольшее двухзначное число состоит из двух последних цифр алфавита;
- cколько в алфавите «единиц», столько в счете «десятков».
|
|
Часто задаваемый вопрос:
«Какое число будет после числа 100?».
Вспомним правило:
ПРАВИЛО
Чисел бесконечное множество и, чтобы узнать, какое число следует за данным, надо к данному числу прибавить «1».
Счет в четырехричной системе счисления.
Посчитаем в четырехричной СС от 0 до 1 000. Результаты счета запишем по «десяткам».
Счет в одиннадцатеричной системе счисления.
Посчитать в 11-ой СС от 0 до 100.
Запишем алфавит:
А - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 А
Составим таблицу сложения.
Таблица сложения для одиннадцатеричной СС.
 |
«1» занимает в алфавите следующую позицию за «0»
«2» занимает в алфавите следующую позицию за «1»
«3» занимает в алфавите следующую позицию за «2»
«4» занимает в алфавите следующую позицию за «3»
«5» занимает в алфавите следующую позицию за «4»
«6» занимает в алфавите следующую позицию за «5»
«7» занимает в алфавите следующую позицию за «6»
«8» занимает в алфавите следующую позицию за «7»
«9» занимает в алфавите следующую позицию за «8»
«А» занимает в алфавите следующую позицию за «9»
«А» - последняя цифра алфавита
|
|
Владея методом счета «в столбик», без труда доберемся от «10» до «19», а какое число следующее?
Для решения как всегда прибавим в столбик «1» к числу «19».
 |
К «9» нулевого разряда прибавим «1». По таблице сложения получим «А», значит, в нулевой разряд ответа запишем «А».
К «1» в первой позиции прибавлять нечего, и в первую позицию ответа запишем «1».
|
|
Получим число «1А». Теперь, к числу «1А» прибавим «1» столбиком.
 |
К «А» нулевого разряда прибавим «1». По таблице сложения получим «10», значит, в нулевой разряд ответа запишем «0», а над цифрой «1» первого разряда - «1».
К «1» первого разряда прибавим «1» и по таблице сложения получим «2», значит в первую позицию ответа запишем «2».
|
|
В ответе получили «20».
При дальнейшем счете очень быстро дойдем до числа «29», а что будет за ним? И опять прибавим «1» столбиком.
 |
К «9» нулевого разряда прибавим «1». По таблице сложения получим «А», значит, в нулевой разряд ответа запишем «А».
К «2» в первой позиции прибавлять нечего, и в первую позицию ответа запишем «2».
|
|
Получим число «2А».
Теперь прибавим «1» к «2А». И конечно же в столбик.
 |
К «А» нулевого разряда прибавим «1». По таблице сложения получим «10», значит, в нулевой разряд ответа запишем «0», а над цифрой «2» первого разряда - «1».
К «2» первого разряда прибавим «1» и по таблице сложения получим «3», значит в первую позицию ответа запишем «3».
|
|
Получим число «30».
Ну вот как все просто и понятно, значит все без труда посчитают до 99. И тут опять встает вопрос – «А потом? Какое число следующее?». И весь класс кричит «100!!!» ведь нас хоть ночью буди - мы то точно знаем, что «99» плюс «1» будет….
Не будем гадать, а прибавим к «99» «1», конечно столбиком…
 |
К «9» нулевого разряда прибавим «1». По таблице сложения получим «А», значит, в нулевой разряд ответа запишем «А».
К «9» в первой позиции прибавлять нечего, и в первую позицию ответа запишем «9».
|
|
Получилось число «9А».
Но ведь это не число «100», значит снова надо прибавлять «1»…
К числу «9А» прибавим «1».
 |
К «А» нулевого разряда прибавим «1». По таблице сложения получим «10», значит, в нулевой разряд ответа запишем «0», а над цифрой «9» первого разряда - «1».
К «9» первого разряда прибавим «1» и по таблице сложения получим «А», значит в первую позицию ответа запишем «А».
|
|
В ответе получилось число «А0».
От «А0» до «А9» доберемся без проблем. Чтобы найти следующее число прибавим «1» к «А9». Опять же в столбик.
 |
К «9» нулевого разряда прибавим «1». По таблице сложения получим «А», значит, в нулевой разряд ответа запишем «А».
К «А» в первой позиции прибавлять нечего, и в первую позицию ответа запишем «А».
|
|
Получилось число «АА», но это еще не «100», значит опять надо прибавлять «1». Конечно столбиком…
 |
К «А» нулевого разряда прибавим «1». По таблице сложения получим «10», значит, в нулевой разряд ответа запишем «0», а над цифрой «А» первого разряда – «1».
К «А» первого разряда прибавим «1» и по таблице сложения получим «10», значит в первую позицию ответа запишем «0», а во вторую – «1».
|
|
В ответе получилось число «100».
Запишем результат счета по «десяткам».
Проверим выполнение правил:
– наибольшее двухзначное число состоит из двух последних цифр в алфавите,
– сколько единиц, столько «десятков».
Домашнее задание
1 Посчитать от 0 до 100 в 5-ричной СС.
2 Посчитать от 0 до 100 в 15-ричной СС.
3 Какое число следует за числом, совпадающим с вашим именем, записанным латинскими буквами, в определенной вами системе счисления.
|
|
