В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.
Алфават, основание, базис.
Позиционную систему счисления характеризуют три основные понятия:
- алфавит,
- основание,
- базис.
Алфавит – набор символов, образующих числа в данной системе счисления.
Основание – количество символов в алфавите.
Базис – вес разрядов.
Наиболее распространенная, широко используемая и хорошо каждому из нас известная ПСС – десятичная.
Десятичная система счисления.
Что известно о 10-ой СС из курса математики начальной школы:
1. Все числа в 10-ой СС строятся из арабских цифр. Значит, алфавитом 10-ой СС будут символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
2. Так как в алфавите 10 символов, то основанием данной СС будет 10,
3. Базис - 10n, где n – номер разряда (позиции цифры в числе)…
Таким образом,
За основание ПСС можно принять любое натуральное число - два, три, четыре, шестнадцать и т.д. И, следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.
Рассмотрим ПСС с наименьшим основанием – двоичную.
Двоичная система счисления.
1. Если система счисления двоичная, значит ее основание равно 2,
2. Если основание равно 2, то базис – 2 в разных степенях…
3. Если основание СС равно 2, значит в ее алфавите 2 символа
ПРАВИЛО
Если P-ричная система счисления имеет основание младше 10, т.е Р меньше 10, то в ее алфавите используются первые Р символов из алфавита десятичной системы счисления (арабские цифры).
Значит, в двоичной системе счисления в алфавите будут символы «0» и «1».
Если в алфавите только два символа, то в числах могут встречаться только эти символы.
например:
1101,1 – но такое число мы уж точно в десятичной системе встречали…
Как обозначить, в какой системе счисления записано число?
ПРАВИЛО
Для обозначения основания числа используют маленькую подстрочную запись (как в химии), т.е. для полной ясности число из двоичной системы счисления будет записано так:
1101,12
Но ведь это свернутая запись, а как будет выглядеть развернутая запись этого числа?
Пронумеруем разряды и развернем свернутую запись:
Таким образом, алфавит, основание, базис и форма числа для 2-ой СС будут выглядеть так:
Троичная система счисления.
В троичной системе счисления теже правила.
Значит:
1 Основание 3 (напротив О пишем 3),
2 напротив Б (базис) запишем степени тройки, т.е. 3n,
3 в алфавите должно быть три знака – поставим для начала три «*», вспоминаем правило и вместо звездочек записываем первые три символа из алфавита десятичной системы счисления.
4 Алфавит определен и теперь из этих символов составим число с запятой «для красоты», и маленькой подстрочной троечкой:
2101,23, т.е. запишем свернутую форму числа, а затем развернем ее.
Как организована система счисления, имеющая основание Р больше 10?
Рассмотрим одиннадцатиричную (11-ричную) СС.
Одиннадцатиричная система счисления.
Рассуждать будем так же, ведь правила едины для всех ПСС:
1 Основание 11, значит напротив О пишем 11,
2 напротив Б запишем 11n,
3 в алфавите поставим 11 «*» и заполним алфавит цифрами алфавита десятичной СС. Но тут оказывается, что одна позиция алфавита осталась незаполненной.
ПРАВИЛО
В алфавите систем счисления, основания которых больше 10, первые 10 символов совпадают с алфавитом десятичной СС, а в качестве остальных цифр используют заглавные буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F.и т.д...
Значит, оставшуюся позицию займет символ А.
4 Алфавит определен и из его символов можно составить число, пометив маленьким подстрочным числом основание этой системы счисления, например:
А987,611
5 Получим свернутую запись числа, пронумеруем разряды и запишем развернутую форму.
Двенадцатиричная система счисления.
По аналогии определимся с двенадцатиричной системой счисления.
Домашнее задание
1 Записать алфавит, основание, базис и число в свернутой и развернутой формах для 5-ричной СС.
2 Записать алфавит, основание, базис и число в свернутой и развернутой формах для 15-ричной СС.
3 Записать свое имя латинскими буквами. Определить систему счисления, в которой ваше имя становится числом. Опишите алфавит, основание и базис этой системы счисления. Отделите правый крайний символ запятой и запишите развернутую форму полученного числа.
|
|
